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21 · 有钱与随机分配
⏱ 54 分钟 ｜ ⭐⭐ 钱能买回无嫉妒，但只对「不浪费」的分配有效
🎯 一句话
允许转账后，EF 从「常常不存在」变成「只要这个分配本身没浪费，就一定能用钱补平」—— 判据是嫉妒图里没有正权环；而在既没有钱、也问不出基数估值的场合，结果只能是一张概率表，这时唯一能说清「谁的抽奖更好」的标尺叫一阶随机支配（SD）。
🧩 一、把钱加进来
上一章的物品「不可分割」，这是 EF 死掉的根源。钱是完美可分的 —— 它能把离散补平。
带钱的结果是一对 $(X, p)$：$X$ 是分配，$p_i$ 是付给 $i$ 的钱（可为负，即 $i$ 掏钱）。 准线性效用：$u_i(X_j, p_j) = v_i(X_j) + p_j$ —— 估值和钱直接相加，一块钱对谁都是一块钱。 结果 $(X,p)$ 无嫉妒：对所有 $i,j$，$v_i(X_i)+p_i \ \ge\ v_i(X_j)+p_j$。
⚠️「一块钱对谁都是一块钱」是假设不是事实：它意味着效用可跨人比较、且没有预算约束。房租分摊、遗产折价补偿大致成立；穷人富人分东西就不成立。
⭐ 关键的新概念 —— 注意它是分配的性质，不是结果的性质，问的是「这个分法有没有救」而不是「这一组钱够不够」：
分配 $X$ 是可无嫉妒化的（envy-freeable）：存在一组支付 $p$ 使 $(X,p)$ 无嫉妒。
手算两个最小例子：一件物品 $g_1$，$v_1(g_1)=10$，$v_2(g_1)=5$。
- 分法 A（给 2 号）：1 号嫉妒，差 10。补 10 块给 1 号？那 1 号手里 10、2 号手里 5，2 号反过来嫉妒。补少了这边不干、补多了那边不干 —— 💀 怎么补都救不回来。
- 分法 B（给 1 号）：$p_2=5$ 就补平：2 号手里 $0+5=5$，看 1 号是 $5+0=5$，恰好持平 ✓；1 号 $10 \ge 0+5$ ✓。补得回来。
⭐ 差别在哪？ 分法 B 把物品给了更看重它的人（10 > 5），分法 A 没有。钱只能补偿「谁拿」，补不了「东西放错了地方」造成的浪费。 下面这条定理就是把这句直觉变成可判定的条件。
🧩 二、带权嫉妒图与三条等价条件
上一章的嫉妒图只记「有没有嫉妒」，现在给边加上权重 = 嫉妒了多少：
带权嫉妒图：完全有向图，点集是 $N$，边权 $$w(i,j) = v_i(X_j) - v_i(X_i)$$ （正数表示 $i$ 真的眼红 $j$，负数表示 $i$ 觉得自己那堆更好。）路径/环的权重就是边权之和。
还需要一个概念：
重分配稳定（reassignment-stable）：把现有的这几堆东西整体换个人来分，总福利不会更高： $$\sum_{i\in N} v_i(X_i)\ \ge\ \sum_{i\in N} v_i(X_{\pi(i)}) \quad \text{对所有排列 } \pi$$ —— 堆已经分好了，问的只是「谁拿哪一堆」有没有分错。
⭐⭐ 定理（可无嫉妒化的刻画）：估值可加且非负时，下面三条等价： 1. $X$ 是可无嫉妒化的 2. $X$ 是重分配稳定的 3. $X$ 的带权嫉妒图里没有正权环
证明是一个漂亮的三步循环，每一步都很短：
(1) ⟹ (2)：设支付 $p$ 让 $(X,p)$ 无嫉妒，即 $v_i(X_j)-v_i(X_i) \le p_i - p_j$。对任意排列 $\pi$，把 $j=\pi(i)$ 代入并对所有 $i$ 求和： $$\sum_i \big(v_i(X_{\pi(i)})-v_i(X_i)\big) \ \le\ \sum_i (p_i - p_{\pi(i)}) = 0$$ 最后等于 0 是因为每个 $p$ 都被加一次减一次，整体抵消。∎
(2) ⟹ (3)：若有一个权重严格为正的环 $C$，就构造排列 $\pi$：环上的人指向环里的下一个，环外的人不动。这个 $\pi$ 让总福利严格变高 —— 不是重分配稳定。∎
(3) ⟹ (1)：⭐ 这一步直接给出算法。令 $$p_i = \ell(i) = \text{从 } i \text{ 出发的最大权路径的权重}$$ （无正权环保证它有限。）对任意 $j$，从 $i$ 出发先走 $(i,j)$ 再走 $j$ 的最优路，也是一条路，所以 $$p_i = \ell(i)\ \ge\ w(i,j) + \ell(j) = v_i(X_j)-v_i(X_i)+p_j$$ 移项就是 $v_i(X_i)+p_i \ge v_i(X_j)+p_j$ —— 正是无嫉妒。 ∎
怎么真的算出来
- 查有没有正权环 / 求最长路：把所有边权取反，就变成「无负权环、求最短路」—— Bellman–Ford，它同时能报告负环。
- 查重分配稳定：建一个完全二部图，一边是人、一边是现有的那几堆，边权 $w(i,X_j)=v_i(X_j)$。$X$ 重分配稳定 ⟺ 最大权匹配的权重不超过当前的 USW。
⭐ 两个白送的构造：USW 最大的分配一定可无嫉妒化（任何重指派都不可能更好）；把所有物品打成一捆给最看重它的那个人也一定可以。
完整手算
三人三物，每人各拿一件：$X_1=\{g_1\}$、$X_2=\{g_2\}$、$X_3=\{g_3\}$。
| $g_1$ | $g_2$ | $g_3$ | |
|---|---|---|---|
| 1 | 7 | 2 | 1 |
| 2 | 6 | 3 | 1 |
| 3 | 5 | 3 | 2 |
第一步，算六条边权 $w(i,j)=v_i(X_j)-v_i(X_i)$：
| $w(\cdot,1)$ | $w(\cdot,2)$ | $w(\cdot,3)$ | |
|---|---|---|---|
| 1（自己 7） | — | $2-7=-5$ | $1-7=-6$ |
| 2（自己 3） | $6-3=+3$ | — | $1-3=-2$ |
| 3（自己 2） | $5-2=+3$ | $3-2=+1$ | — |
（读法：2 号和 3 号都眼红 1 号，3 号还眼红 2 号；1 号谁都不眼红。）
第二步，查正权环：$1\!\to\!2\!\to\!1$ 是 $-5+3=-2$；$1\!\to\!3\!\to\!1$ 是 $-6+3=-3$；$2\!\to\!3\!\to\!2$ 是 $-2+1=-1$；$1\!\to\!2\!\to\!3\!\to\!1$ 是 $-5-2+3=-4$；$1\!\to\!3\!\to\!2\!\to\!1$ 是 $-6+1+3=-2$。全是负的 ⟹ 可无嫉妒化 ✓
第三步，算最长路 $\ell$（从出边全是负的那个人开始往回推）：
- $\ell(1) = 0$ —— 1 号的两条出边都是负的，最好的选择是哪儿都不去（空路径，权重 0）
- $\ell(2) = \max\{\,3+\ell(1),\ -2+\ell(3)\,\} = \max\{3,\ 2\} = 3$
- $\ell(3) = \max\{\,3+\ell(1),\ 1+\ell(2)\,\} = \max\{3,\ 4\} = \mathbf{4}$（走 $3\to2\to1$ 比直接 $3\to1$ 更划算）
支付：$p_1 = 0,\ p_2 = 3,\ p_3 = 4$。
第四步，逐条验（比较 $v_i(X_i)+p_i$ 与 $v_i(X_j)+p_j$）：3 号手里 $2+4=6$，看 1 号是 $5+0=5$ ✓、看 2 号是 $3+3=6$ ✓ 持平；2 号手里 $3+3=6$，看 1 号是 $6+0=6$ ✓ 持平、看 3 号是 $1+4=5$ ✓；1 号手里 $7$，看另外两人是 $5$、$5$ ✓。
全部通过。⭐ 注意那两个「持平」 —— 最长路给出的正是恰好补平的支付，一分不多。
想同时要 EF1 和可无嫉妒化？
Brustle 等（2019）：反复求「人 × 剩余物品」二部图的最大权匹配，每轮每人最多拿一件，拿完删掉，直到发完。⭐ 每一轮的最大权匹配就是那一轮的 USW 最大解，单轮不可能有正权环，各轮叠加也造不出正权环；而「每轮每人至多一件」正是上一章 Round-Robin 那套 EF1 论证需要的结构。
🛑 读到这里可以停 —— 「有钱」这半章讲完了（约 25 分钟）。 后半章还有：随机分配的两个算法（RSD / PS）· 一阶随机支配 SD · 可分物品与 AW 回来的时候不用重读，直接从下一节接着看就行。
🧩 三、没有钱、也问不出数字：只能给概率
换个场景：分宿舍、分实习岗位、分课程名额。不能收钱（政策不允许），而且只问得出排序问不出估值 —— 你可以让学生把宿舍排个序，但「A 宿舍值 80 分」这种话没人报得准，报了也没法核实。
$n$ 个人、$n$ 件物品、每人一件、严格序数偏好。这时确定性的结果一定不公平（谁拿到第一名的物品，别人就眼红），所以结果是一张概率表：
随机分配 $p$ 是一个矩阵，$p_i(o)$ 表示 $i$ 拿到 $o$ 的概率。每行和为 1（每人恰好一件），每列和为 1（每件恰好给一人）。
本节从头到尾用同一个实例（3 人 3 物）：
$$\succ_1:\ o_1, o_2, o_3 \qquad \succ_2:\ o_2, o_1, o_3 \qquad \succ_3:\ o_2, o_3, o_1$$
算法一：RSD（随机序列独裁）
等概率抽一个人的排列，按这个顺序让每人从剩下的里挑最想要的。 3 个人只有 6 个排列，全枚举即可：$123$ 和 $213$、$231$ 都给出 $(o_1,o_2,o_3)$；$132$ 和 $312$ 给出 $(o_1,o_3,o_2)$；只有 $321$ 让 3 号先挑走 $o_2$、2 号再抢走 $o_1$，1 号只剩 $o_3$。数一数（次数 ÷ 6）：
$$\mathrm{RSD} = \begin{pmatrix} 5/6 & 0 & 1/6 \\ 1/6 & 1/2 & 1/3 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$
（行是人 1/2/3，列是 $o_1/o_2/o_3$。⭐ 自查：每行每列都加到 1。）
⚠️ RSD 好懂、好实现、而且策略防伪（不管抽到什么顺序，轮到你时报真话都是最优的）。但它有个很实际的毛病：算出这张表本身是难的 —— 一般情形下 $n! $ 个排列不能枚举，而且「判断某人拿到某件的概率是否 $\ge p$」是 NP 难的。
算法二：PS（概率序列 / 「吃」算法）
⭐ 把每件物品想成一块重量为 1 的蛋糕：
- 所有人同时、以相同速度开吃自己当前最想要且还没吃完的那件
- 一件被吃光了，正在吃它的人立刻转向自己列表里下一件还没吃完的
- 全部吃光时停。每个人吃掉的份额就是他的概率
完整走一遍（还是上面那个实例）：
| 时间段 | 谁在吃什么 | 段末状态 |
|---|---|---|
| $[0,\ 1/2]$ | 1 吃 $o_1$（独享）；2、3 一起吃 $o_2$ | $o_2$ 两人同吃，$\frac12$ 时吃光，各得 $1/2$；1 已吃掉 $o_1$ 的 $1/2$ |
| $[1/2,\ 3/4]$ | $o_2$ 没了：2 转向 $o_1$（和 1 一起吃剩下的 $1/2$），3 转向 $o_3$ | $o_1$ 剩 $1/2$ 由两人吃，$1/4$ 后光；1 再得 $1/4$（共 $3/4$），2 得 $1/4$；3 得 $o_3$ 的 $1/4$ |
| $[3/4,\ 1]$ | 只剩 $o_3$（余 $3/4$），三个人一起吃 | 各得 $1/4$；3 共得 $1/2$ |
$$\mathrm{PS} = \begin{pmatrix} 3/4 & 0 & 1/4 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$
⭐ 对比一下 RSD 和 PS：1 号在 RSD 下拿到 $o_1$ 的概率是 $5/6$，在 PS 下只有 $3/4$ —— 1 号更喜欢 RSD。而 2 号呢？两者拿到最爱 $o_2$ 的概率都是 $1/2$，但第二志愿 $o_1$：PS 给 $1/4$、RSD 只给 $1/6$ —— 2 号更喜欢 PS。
没有哪个整体更好。 要把这句话说清楚，需要一个正式的比较标尺。
🧩 四、一阶随机支配（SD）：概率表怎么比
只有排序、没有数字，怎么说「这张概率表比那张好」？
⭐ SD（stochastic dominance）：$i$ 认为 $p$ 支配 $q$，记 $p(i) \succeq_i^{SD} q(i)$，当且仅当对每一件物品 $o$： $$\sum_{o' \succeq_i o} p_i(o')\ \ \ge \sum_{o' \succeq_i o} q_i(o')$$
直觉就一句话：从最爱往下累计概率，每一层 $p$ 都不比 $q$ 少。「拿到第 1 名的概率」不少、「拿到前 2 名的概率」不少、「拿到前 3 名的概率」不少……
⭐ 它为什么是对的标尺：$p \succeq^{SD}_i q$ 当且仅当 对每一个与 $i$ 的排序相容的效用函数，$p$ 的期望效用都不低于 $q$。也就是说 —— 不管这个人心里的真实数字是多少，只要排序是这个，他就一定不会更差。 这正是「问不出基数估值」时能给出的最强承诺。
手算比较（1 号，偏好 $o_1 \succ o_2 \succ o_3$）：
| 累计到 | RSD 行 $(5/6,\,0,\,1/6)$ | PS 行 $(3/4,\,0,\,1/4)$ |
|---|---|---|
| $o_1$ | $5/6$ | $3/4$ |
| $o_1,o_2$ | $5/6$ | $3/4$ |
| $o_1,o_2,o_3$ | $1$ | $1$ |
每一层 RSD 都 $\ge$ PS ⟹ 1 号在 SD 意义下严格更喜欢 RSD ✓
2 号（偏好 $o_2 \succ o_1 \succ o_3$）：PS 累计是 $1/2,\ 3/4,\ 1$；RSD 是 $1/2,\ 2/3,\ 1$。⟹ 2 号在 SD 意义下更喜欢 PS ✓
⚠️ SD 是偏序，很多东西压根不可比
这是必须讲透的一点。设某人偏好 $o_1 \succ o_2 \succ o_3$，比较 $p=(1/2,0,1/2)$ 和 $q=(1/3,1/2,1/6)$：累计概率分别是 $p:\ 1/2,\ 1/2,\ 1$ 与 $q:\ 1/3,\ 5/6,\ 1$。
第一层 $p$ 赢（$1/2>1/3$），第二层 $q$ 赢（$5/6>1/2$） —— 谁都不支配谁。它们在 SD 下不可比。
这不是理论洁癖：$p$ 是「要么最好要么最差」的赌博，$q$ 是「大概率拿到前二」的稳妥。哪个更好取决于这个人心里的真实数字，而序数偏好里根本没有这个信息。 SD 拒绝在这种时候下结论 —— 这是它的诚实，也是它的局限：基于 SD 的「最优」往往一大堆，选哪个还得另找理由。
三个 SD 版的性质
- SD-无嫉妒：$p(i) \succeq_i^{SD} p(j)$ 对所有 $i,j$ —— 我不觉得别人那张概率表比我的好
- SD-有效：不存在另一张表让所有人 SD 上不差、至少一人严格更好
- SD-策略防伪：报真话得到的表，SD 支配任何谎报得到的表
💀 定理（Bogomolnaia & Moulin 2001）： RSD 是 SD-策略防伪的，但既不 SD-有效、也不 SD-无嫉妒。 PS 是 SD-有效且 SD-无嫉妒的，但不 SD-策略防伪。
又一个「三条挑两条」。PS 可被操纵的具体样子：把上面那个实例的 1 号偏好改报成 $o_2 \succ o_1 \succ o_3$（假装先抢 $o_2$，逼别人分流），PS 会输出 $p_1 = (1/2,\ 1/3,\ 1/6)$。如果 1 号心里的真实数字是 $u_1 = (7,\ 6,\ 0)$，那么说真话的期望效用是 $\frac34\cdot7 + 0 = 5.25$，谎报是 $\frac12\cdot7+\frac13\cdot6=5.5$ —— 撒谎更好。
⚠️ 注意谎报只在知道真实数字时才划得来 —— 而 SD 恰恰不用数字。这说明 PS 的「不防伪」是基数层面的漏洞，不是序数层面的。
🧩 五、如果东西可以切：AW 与它的代价
最后一句话交代可分物品（土地、时间、预算）。这里 EF 一定存在，问题变成怎么切最省。
⭐ 调整赢家法（AW，Brams & Taylor）处理 2 个人：两人各拿 100 点分摊到各件物品；先把每件给出价高的那个人，再从领先方手上比值 $x_i/y_i$ 最接近 1 的那件开始往对方转移，直到两人分数相等。手算例（1 号出价 $67,6,27$；2 号 $34,5,61$）：初始 73 : 61，整件转出 $o_2$ 后是 67 : 66，最后只切开 $o_1$ 的 $\frac1{101}$，两人各得 $\approx 66.34$ 分。
⭐ 定理（Brams & Taylor 1996）：AW 是帕累托最优、均等、无嫉妒、比例的，且最多只切开一件物品（Aziz 等 2015：两人情形下唯一）。 💀 定理（Zhou 1990）：可分 + 可加基数效用下，策略防伪、PO、无嫉妒三者不可兼得。 任意两条都容易：防伪 + PO = 独裁；防伪 + EF = 空分配；EF + PO = 最大化 Nash 福利。
🔗 这一章连到哪里
| 去哪 | 为什么 |
|---|---|
| 20-公平分配的算法.md | 本章的带权嫉妒图就是那一章嫉妒图的加权版：那边只问「有没有边」，这边问「这条边值多少钱」 |
| 19-怎么算公平.md | 回去对照：那边说 EF 在不可分物品下常常不存在 —— 本章给出它回来的两个条件（有钱 / 允许随机） |
| 18-住房市场与TTC.md | 序列独裁在那一章出现过（多份禀赋时「PO + 防伪」的实现），这里给它套上随机化，就成了 RSD |
| 22-联盟博弈与核心.md | 下一章问的是另一半问题：收益已经赚到了，怎么在联盟内部分。第 18 章的「核心」会在那里被正式展开 |
| ../推荐算法/15b-广告-从推荐到竞价.html | 那边是「有钱」的另一种用法：不是补偿嫉妒，而是用支付换取说真话（VCG）。同样的准线性效用假设，不同的目的 |
✅ 检查点
- 准线性效用做了哪两条很强的假设？什么场景下它站不住？
- 一件物品两个人（估值 10 和 5），为什么「给估值低的人」这个分配怎么补钱都救不回来？
- 「可无嫉妒化」为什么是分配的性质而不是结果的性质？
- 带权嫉妒图的边权怎么定义？正权环意味着什么？
- (1) ⟹ (2) 的证明里，为什么求和之后右边等于 0？
- 手算例子里 $\ell(3)=4$ 是怎么来的？为什么不是 3？出现两处「恰好持平」说明了什么？
- 哪两种分配是白送的「一定可无嫉妒化」？
- PS 的「吃蛋糕」过程里，$o_2$ 为什么在 $t=1/2$ 就被吃光？
- 1 号和 2 号分别更喜欢 RSD 还是 PS？用累计概率说明。
- SD 为什么是「问不出基数估值」时能给的最强承诺？它的局限是什么？
- RSD 和 PS 各自满足哪两条 SD 性质、丢掉哪一条？
- AW 最后为什么恰好切了 $o_1$ 的 $1/101$？
👀 答案
- ① 物品估值和钱直接相加（$u_i=v_i+p_i$），意味着效用可跨人比较；② 没有预算约束，一块钱对谁都一样。房租分摊、遗产折价补偿大致成立；穷人富人分东西就不成立。
- 要补平估值 10 的那个人得给他至少 10；一给 10，他手里是 10 而对方手里是 5，对方反过来嫉妒。补少了这边不干、补多了那边不干。根因是东西放错地方造成了浪费，而钱只能补偿「谁拿」。
- 它问的是「存在一组支付让它无嫉妒吗」，即「这个分法有没有救」；「结果无嫉妒」问的才是「这一组具体的钱够不够」。
- $w(i,j)=v_i(X_j)-v_i(X_i)$，$i$ 对 $j$ 的嫉妒量（可为负）。正权环意味着沿环轮换整堆能让总福利严格变高 —— 这几堆分错了人，不是重分配稳定，因而不可无嫉妒化。
- 因为 $\pi$ 是排列，$\sum_i(p_i-p_{\pi(i)})$ 里每个 $p$ 被加恰好一次、减恰好一次，整体抵消为 0。
- $\ell(3)=\max\{3+\ell(1),\,1+\ell(2)\}=\max\{3,\,4\}=4$ —— 绕道 $3\to2\to1$ 比直接 $3\to1$ 更划算。两处持平说明最长路给出的是恰好补平的最小支付，一分不多：那条最优路径上每条不等式都取等号。
- ① USW 最大的分配（任何重指派都不可能更好）；② 把所有物品打成一捆给最看重它的那个人。
- 因为 2 号和 3 号的第一志愿都是 $o_2$，两人同时以相同速度吃同一块重量为 1 的蛋糕，$\frac12$ 时刻正好吃光，各得 $1/2$。
- 1 号更喜欢 RSD：累计 $5/6,\,5/6,\,1$ 对 PS 的 $3/4,\,3/4,\,1$，每层都不少。2 号更喜欢 PS：累计 $1/2,\,3/4,\,1$ 对 RSD 的 $1/2,\,2/3,\,1$。两张表互不支配。
- 因为 $p\succeq^{SD}_i q$ 等价于「对每一个与 $i$ 排序相容的效用函数，$p$ 的期望效用都不低于 $q$」—— 不管真实数字是多少都不会更差。局限是它只是偏序：$(1/2,0,1/2)$ 与 $(1/3,1/2,1/6)$ 第一层前者赢、第二层后者赢，不可比（对应「搏一把」与「求稳妥」的取舍，而序数偏好里没有决定它的信息）。
- RSD：SD-策略防伪 ✓，但不 SD-有效、不 SD-无嫉妒。PS：SD-有效 ✓ + SD-无嫉妒 ✓，但不 SD-策略防伪。（Bogomolnaia & Moulin 2001）
- 转完 $o_2$ 后是 67 : 66，还差一点。设 2 号拿到 $o_1$ 的比例 $t$，令 $67(1-t)=66+34t$ 得 $t=1/101$，两人最终都是 $67\times\frac{100}{101}\approx66.34$ 分 —— 均等。
🛑 可以停在这里
⚡ 走神救援
这一章处理上一章留下的两个缺口：EF 常常不存在怎么办。两条出路，分别对应「有钱」和「只能给概率」。
有钱：假设准线性效用 $u_i(X_j,p_j)=v_i(X_j)+p_j$。核心概念是可无嫉妒化（envy-freeable）：存在一组支付让它无嫉妒 —— 这是分配的性质，问的是「这个分法有没有救」。一件物品估值 10 和 5 的例子给出本质：给估值 5 的那个人时怎么补都救不回来（补 10 则对方反过来嫉妒）—— 钱能补偿「谁拿」，补不了「东西放错地方」的浪费。⭐⭐ 刻画定理给出三条等价：可无嫉妒化 ⟺ 重分配稳定 ⟺ 带权嫉妒图无正权环（边权 $w(i,j)=v_i(X_j)-v_i(X_i)$）。三步循环都很短，其中 (3)⟹(1) 令 $p_i=\ell(i)=$ 从 $i$ 出发的最大权路径，这一步直接就是算法（边权取反跑 Bellman–Ford）。手算的 3 人例子里六条边权是 $-5,-6,+3,-2,+3,+1$、所有环为负，最长路给出 $p=(0,3,4)$，六条无嫉妒条件全部通过、其中两条恰好持平 —— 最长路给的是一分不多的最小支付。两个白送的构造：USW 最大的分配、全部打包给最看重的人。
只能给概率：不能收钱又只问得出排序时，结果是一张双随机矩阵。RSD（抽排列后依次挑）SD-策略防伪，但算这张表本身 NP 难。PS（吃蛋糕）让所有人同速吃自己当前最想要且没吃完的那件，吃掉多少就是多少概率。⭐ 比较两张表用一阶随机支配（SD）：从最爱往下累计概率，每一层都不少；它等价于「对所有与该排序相容的效用函数期望都不低」，是问不出数字时能给的最强承诺。手算显示 1 号更喜欢 RSD（$5/6$ vs $3/4$）而 2 号更喜欢 PS（$3/4$ vs $2/3$）—— 两张表互不支配。⚠️ SD 只是偏序：$(1/2,0,1/2)$ 与 $(1/3,1/2,1/6)$ 第一层前者赢、第二层后者赢，不可比，对应「搏一把」与「求稳妥」的取舍。💀 Bogomolnaia–Moulin 2001：RSD 防伪但既不 SD-有效也不 SD-无嫉妒；PS 是 SD-有效 + SD-无嫉妒但不防伪。
可分物品：AW（调整赢家）先把每件给出价高的人，再从比值最接近 1 的那件往回让直到分数相等 —— 手算里只切了 $o_1$ 的 $\frac{1}{101}$，两人各得约 66.34 分。AW 是 PO + 均等 + EF + 比例、且最多切一件（两人情形下唯一）。💀 Zhou 1990：可分 + 基数效用下防伪、PO、EF 三者不可兼得。
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