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10 · 支配策略
⏱ 33 分钟 ｜ ⭐ 最省力的解法：有时候不用想别人怎么选
🎯 一句话
如果某个动作「不管别人怎么做都更好」，那就选它 —— 这是博弈里唯一不需要猜对手的推理。
上一章末尾留了个难题：博弈里「最优」是循环依赖的（我的最优取决于你的选择，你的最优取决于我的）。 这一章讲唯一一种能绕开循环的情形 —— 以及它为什么经常绕不开。
⚔️ 一、严格支配：不用猜对手的那种好
回到囚徒困境（数字沿用第 9 章）：
| 甲 ＼ 乙 | 合作 | 叛变 |
|---|---|---|
| 合作 | 2, 2 | 0, 3 |
| 叛变 | 3, 0 | 1, 1 |
甲的推理是：乙合作时 3 > 2，乙叛变时 1 > 0。两种情况都更好。
⭐ 严格支配（strict dominance）：对玩家 $i$，动作 $a_i$ 严格支配 $a_i'$，当且仅当 $$u_i(a_i,\ a_{-i}) > u_i(a_i',\ a_{-i}) \qquad \textbf{对每一个 } a_{-i} \textbf{ 都成立}$$
⚠️ 注意「每一个」三个字。只要有一种对手组合让 $a_i'$ 反超，支配关系就不成立。 这是判定时最容易漏的地方 —— 必须把对手的所有情况逐一验完。
⭐ 严格劣势策略（strictly dominated）：被别的动作严格支配的动作。 理性的人绝不会用它 —— 无论他怎么猜对手，都有更好的选择摆在那里。 这句话是本章所有推理的唯一依据。
弱支配（weak dominance） 把「>」放松成「≥ 且至少一处严格 >」：
$$u_i(a_i, a_{-i}) \ge u_i(a_i', a_{-i})\ \ \forall a_{-i}, \qquad \exists a_{-i}:\ u_i(a_i,a_{-i}) > u_i(a_i',a_{-i})$$
⚠️ 这一字之差后果很严重，第四节专门讲。
支配策略 vs 支配的策略
两个中文很像的词，混了会出事：
| 说法 | 意思 |
|---|---|
| 占优策略（dominant strategy） | 它支配了其他所有动作 —— 闭着眼选它就行 |
| 被支配的策略（dominated） | 存在某个动作比它好 —— 绝不选它 |
囚徒困境里「叛变」是占优策略，「合作」是被严格支配的策略。 ⭐ 占优策略非常罕见，绝大多数博弈里没有；「被支配的策略」则常见得多，所以下面的迭代删除才有用。
🎲 二、被混合策略支配：纯策略比不完
有一类陷阱：一个动作可能不被任何单个动作支配，却被「掷骰子」支配。
看行玩家的三个动作（列玩家收益省略，不影响判断）：
| 甲 ＼ 乙 | L | R |
|---|---|---|
| U | 3 | 0 |
| M | 0 | 3 |
| D | 1 | 1 |
逐个比：U 不支配 D（乙出 R 时 0 < 1）；M 也不支配 D（乙出 L 时 0 < 1）。 看起来 D 挺稳的。 但是：
🔨 甲拿一枚硬币，一半概率出 U、一半出 M： - 乙出 L：期望 $\tfrac12(3) + \tfrac12(0) = \mathbf{1.5} > 1$ - 乙出 R：期望 $\tfrac12(0) + \tfrac12(3) = \mathbf{1.5} > 1$
⭐ 两种情况都严格更好 —— D 被这个混合策略严格支配。
💡 直觉：D 是个「两边都不得罪」的保守选项，收益被压平了。 而随机化能同时保留 U 和 M 的高点，用不确定性换到更高的平均值。
⚠️ 实践含义：判断一个动作是不是劣势策略，只比其他纯动作是不够的。 严格来说要问「有没有某个概率组合能压过它」（这是个线性规划问题）。 手算时至少要养成习惯：试试把两个极端动作各掺一半。
🔁 三、迭代删除：把「没人会用」的选项一层层剥掉
单看一个动作往往删不动，但删掉一个之后，别人的判断会跟着变，于是能继续删。
⭐ 迭代删除严格劣势策略（IESDS） 1. 找出任意一个玩家的某个严格劣势策略； 2. 划掉它（那一行/那一列整个消失）； 3. 在剩下的更小的表里重复，直到删不动为止。
为什么这样删是合法的：甲绝不用劣势策略，乙知道甲理性所以也知道甲不会用， 于是乙可以当那一行不存在 —— 这一步叫「共同知识」。⚠️ 它是有前提的，见本节末尾。
🔨 手算：一个 3×3 走到底
| 甲 ＼ 乙 | L | C | R |
|---|---|---|---|
| U | 13, 3 | 1, 4 | 7, 3 |
| M | 4, 1 | 3, 3 | 6, 2 |
| D | −1, 9 | 2, 8 | 8, −1 |
⭐ 套路：行玩家看每格的第一个数、按列比较；列玩家看第二个数、按行比较。
第 1 步（列玩家） 比 C 和 R：C 给 $(4,3,8)$，R 给 $(3,2,-1)$。逐项 $4>3,\ 3>2,\ 8>-1$ —— C 严格支配 R，划掉 R。
| 甲 ＼ 乙 | L | C |
|---|---|---|
| U | 13, 3 | 1, 4 |
| M | 4, 1 | 3, 3 |
| D | −1, 9 | 2, 8 |
第 2 步（行玩家） 比 M 和 D：M 给 $(4,3)$，D 给 $(-1,2)$。$4>-1,\ 3>2$ —— M 严格支配 D，划掉 D。 ⚠️ 注意 R 还在的时候 M 并不支配 D（R 列 D 拿 8 > M 的 6）。是第 1 步的删除让第 2 步成为可能 —— 这就是「迭代」的意思。
| 甲 ＼ 乙 | L | C |
|---|---|---|
| U | 13, 3 | 1, 4 |
| M | 4, 1 | 3, 3 |
第 3 步（列玩家） 比 L 和 C：L 给 $(3,1)$，C 给 $(4,3)$。$4>3,\ 3>1$ —— C 支配 L，划掉 L。
第 4 步（行玩家） 只剩 C 列：U 拿 1，M 拿 3 —— 划掉 U。
⭐ 只剩一格 (M, C) = (3, 3)。 当 IESDS 能删到只剩一格时，这个博弈叫可解的（dominance solvable）， 那一格必定是唯一的纳什均衡（第 11 章第四节会用「NE 一定存在 + NE 只落在幸存集合里」两句话把它推出来）。
⭐ 两条必须记住的性质
| 性质 | 说明 |
|---|---|
| 删除顺序无关 | 严格支配下，无论按什么顺序删，最后剩下的集合完全一样。所以你可以放心地先删任何一个 |
| 不删掉纳什均衡 | IESDS 不会误删任何纳什均衡 —— 剩下的集合一定包含全部 NE |
⚠️ 共同知识的前提别忽略：第 3、4 步依赖的是「甲知道乙知道甲是理性的」这种多层假设。 删的层数越多，对理性的假设越强。现实中人只推 1–2 层是常态 —— 这也是「猜数字游戏（选平均数的 2/3）」里几乎没人真的选 0 的原因。
⚠️ 四、弱支配：一字之差，两个坑
把「>」换成「≥ 且至少一处严格」，上面两条性质全部失效。
坑一：会删掉纳什均衡
| 甲 ＼ 乙 | L | R |
|---|---|---|
| U | 1, 1 | 0, 0 |
| D | 0, 0 | 0, 0 |
先确认这个博弈有两个纳什均衡： - (U, L) = (1,1)：甲改选 D 得 0（更差），乙改选 R 得 0（更差）✓ - ⭐ (D, R) = (0,0)：甲改选 U 仍是 0（不变），乙改选 L 仍是 0（不变）—— 没人能靠单边偏离变好，是 NE ✓
现在跑弱支配删除：U 弱支配 D（$1>0$ 且 $0\ge0$），划掉 D；同理 L 弱支配 R，划掉 R。 只剩 (U, L)。
💀 (D, R) 这个纳什均衡被删没了。 严格支配保证不会发生这种事，弱支配不保证。
坑二：删除顺序会改变答案
| 甲 ＼ 乙 | L | R |
|---|---|---|
| U | 1, 1 | 0, 1 |
| M | 1, 1 | 1, 0 |
| D | 0, 0 | 1, 1 |
对甲：M 弱支配 U（$1\ge1,\ 1>0$），M 也弱支配 D（$1>0,\ 1\ge1$）。先删哪个？
顺序 A：先删 U → 剩 M、D 两行。此时乙的 L 给 $(1,0)$、R 给 $(0,1)$，谁也不支配谁。 再看甲：M 弱支配 D，删 D → 只剩 M 行，乙的 L(1) > R(0)，删 R。 结果：$\{(M, L)\}$。
顺序 B：先删 D → 剩 U、M 两行。此时乙的 L 给 $(1,1)$、R 给 $(1,0)$，L 弱支配 R，删 R。 只剩 L 列，甲的 U 和 M 都拿 1，谁也不支配谁，删不动了。 结果：$\{(U, L),\ (M, L)\}$。
⭐ 同一个博弈，两种删除顺序给出两个不同的答案。 这不是算错了 —— 弱支配删除本身就没有唯一解。
结论
| 严格支配 | 弱支配 | |
|---|---|---|
| 顺序无关 | ✅ | ❌ |
| 保住所有 NE | ✅ | ❌ 会删掉 |
| 能用吗 | 放心用 | ⚠️ 能删得更多，但必须说明删除顺序，且结论要另行验证 |
🚧 五、这套工具什么时候完全无效
| 甲 ＼ 乙 | 拳击 | 芭蕾 |
|---|---|---|
| 拳击 | 2, 1 | 0, 0 |
| 芭蕾 | 0, 0 | 1, 2 |
甲比较两行：乙选拳击时 $2 > 0$（拳击好），乙选芭蕾时 $0 < 1$（芭蕾好）。 两个方向相反 —— 没有任何支配关系。 乙那边完全对称。
⭐ 性别之争里 IESDS 一步都走不动，表格原封不动。 石头剪刀布同样：每个动作都被某个动作克制，也都克制着某个动作，一个都删不掉。
💡 这才是常态。 支配是个很强的条件，绝大多数有意思的博弈都不满足。 它的价值在于：能用的时候几乎不费力气，所以永远值得先花两分钟试一下。
⭐ 删不动的时候，就需要一个更弱、但普遍存在的解概念 —— 那就是第 11 章的纳什均衡。 两者的关系是：支配问的是「不管你怎样我都该……」，均衡问的是「假设你这样，我该……，而且你也不想改」。
🔗 这一章连到哪里
| 去哪 | 为什么 |
|---|---|
| 09 · 正常形博弈 | 本章的囚徒困境、性别之争、石头剪刀布都出自那里，数字完全一致。⭐ 那一章还讲了帕累托最优 —— 囚徒困境里两人都用占优策略，结果落在唯一一个非帕累托最优的格子 |
| 11 · 纳什均衡 | ⭐ 本章的工具对性别之争完全无效，那一章的均衡概念是普适的。还会验证：IESDS 删到只剩一格时，那格就是唯一的 NE |
| 12 · 混合策略 | 第二节「被混合策略支配」只是开胃菜。掷骰子在那一章从「判定工具」升级成均衡本身的组成部分 |
| 16 · 机制设计在解什么 | ⭐ 占优策略是机制设计里最想要的东西：如果「说真话」是占优策略，参与者就不用猜别人、也不用懂博弈论。那一章的策略防伪（SP）说的正是这件事 |
| 推荐算法 15b · 广告：从推荐到竞价 | 一个真实例子：单个位置的二价拍卖里「报真实估值」是占优策略，所以出价不再震荡；而多位置的 GSP 就没有这个性质了 |
✅ 检查点
- 写出严格支配的定义。判定时最容易漏掉的是哪三个字？
- 「占优策略」和「被支配的策略」有什么区别？哪个更常见？
- 给出一个动作不被任何纯动作支配、却被混合策略支配的例子，并算出数字。
- 迭代删除为什么是合法的？它依赖什么假设？
- 在那个 3×3 例子里，为什么第 2 步（M 支配 D）必须等第 1 步删掉 R 之后才成立？
- 严格支配的迭代删除有哪两条重要性质？
- 弱支配的迭代删除会出什么问题？各举一个例子说明。
- 性别之争里支配工具为什么完全无效？石头剪刀布呢？
- 支配和纳什均衡在提问方式上有什么根本不同？
👀 答案
- $a_i$ 严格支配 $a_i'$ ⟺ $u_i(a_i,a_{-i}) > u_i(a_i',a_{-i})$ 对每一个 $a_{-i}$ 都成立。⚠️ 最容易漏的是「对每一个」—— 只要有一种对手组合让 $a_i'$ 反超，支配就不成立，必须把对手所有情况逐一验完。
- 占优策略支配了其他所有动作（闭眼选它）；被支配的策略只是存在某个动作比它好（绝不选它）。占优策略非常罕见，被支配的策略常见得多 —— 所以迭代删除才有用武之地。
- U 给 $(3,0)$、M 给 $(0,3)$、D 给 $(1,1)$。U 不支配 D（R 列 0<1），M 也不支配 D（L 列 0<1）。但 ½U + ½M：乙出 L 时 $\tfrac12(3)+\tfrac12(0)=\mathbf{1.5}>1$，乙出 R 时 $\tfrac12(0)+\tfrac12(3)=\mathbf{1.5}>1$ —— 两种情况都严格更好。💡 直觉：D 是「两边都不得罪」的保守选项收益被压平，随机化能同时保留两个高点。
- 因为理性的人绝不用严格劣势策略，而对手知道你理性、所以知道你不会用，于是可以当那一行不存在。⚠️ 它依赖共同知识（我知道你知道我理性……），删的层数越多假设越强。现实中人常常只推 1–2 层。
- 因为 R 还在的时候 M 并不支配 D —— R 列里 D 拿 8 > M 的 6。是第 1 步删掉 R 让第 2 步成为可能，这正是「迭代」二字的含义。
- ① 删除顺序无关（无论按什么顺序删，剩下的集合完全一样）② 不会删掉任何纳什均衡（剩下的集合一定包含全部 NE）。
- 坑一：会删掉 NE。 那个 2×2 里 (U,L)=(1,1) 和 (D,R)=(0,0) 都是 NE（在 (D,R) 处任何人单边偏离都仍是 0，没变好），但 U 弱支配 D、L 弱支配 R，删完只剩 (U,L) —— 💀 (D,R) 被删没了。坑二：顺序会改答案。 3×2 那个例子里，先删 U 得 $\{(M,L)\}$，先删 D 得 $\{(U,L),(M,L)\}$ —— 同一个博弈两个答案，弱支配删除本身没有唯一解。
- 性别之争里甲的两行方向相反（乙选拳击时 2>0，乙选芭蕾时 0<1），没有任何支配关系，一步都走不动。石头剪刀布里每个动作都克制某个、也被某个克制，一个都删不掉。💡 这才是常态 —— 支配是很强的条件，价值在于「能用时几乎不费力」，所以值得先花两分钟试。
- 支配问的是「不管你怎样，我都该……」（不需要猜对手，但很少适用）；均衡问的是「假设你这样，我该……，而且你也不想改」（需要猜，但普遍存在）。
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⚡ 走神救援
严格支配是博弈里不必猜对手的推理。 $a_i$ 严格支配 $a_i'$，当且仅当对每一个 $a_{-i}$ 都有 $u_i(a_i,a_{-i}) > u_i(a_i',a_{-i})$。只要存在一种对手动作反超，支配就不成立；囚徒困境中「叛变」在对手合作或叛变时都更好。
占优策略支配所有其他动作；被支配策略只要有一个更好的替代即可。判定时不能只比纯动作：若 U 给 $(3,0)$、M 给 $(0,3)$、D 给 $(1,1)$，½U+½M 在两列都是 1.5，D 就被混合策略严格支配。手算时也试试两个极端动作各掺一半。迭代删除则让行玩家按列比较第一个数、列玩家按行比较第二个数；某一步依赖上一步已删掉的动作，才叫「迭代」。
删到唯一一格的博弈叫可解的，那格必是唯一 NE。严格支配有两条好性质：删除顺序无关，也不会误删 NE；但它依赖共同知识，删得越多假设越强。别把它换成弱支配后还照搬这两条性质。 弱支配可能删掉一个 NE，也可能因删除顺序不同得到不同结果。
弱支配能删得更多，却必须说明删除顺序并另行验证结论。很多博弈根本删不动，例如性别之争和石头剪刀布；支配条件很强，但值得先花两分钟试。删不动就转到第 11 章：支配问「不管你怎样我都该怎么做」，均衡问「假设你这样做，我和你是否都不想改」。
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