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24 · 投票规则
⏱ 32 分钟 ｜ ⭐⭐ 同一份选票，五个候选人全都能当选
🎯 一句话
「谁赢」不只取决于大家怎么投，还取决于你用哪条规则数票 —— 而且这不是极端构造，是常态。
这一章会拿一份 14 人的真实选票手算六种规则。结论会有点吓人：五个候选人，每一个都能在某条合理规则下当选。
🧩 一、形式框架：先把「投票」写清楚
- 选民 $N=\{1,\dots,n\}$，候选项 $A=\{a_1,\dots,a_m\}$
- 每个选民 $i$ 交一个线性序 $\succ_i$（对所有候选项从好到坏排队，不允许并列、不允许弃权）
- 全体的排序合起来叫偏好轮廓（profile） $\succ\,=(\succ_1,\dots,\succ_n)$
⚠️ 「投票规则」是个口语词。输出形式不同，数学对象就不同，这四个必须分清：
| 名字 | 输出 | 记号 |
|---|---|---|
| 社会福利函数 SWF | 一个集体排序 | $F:\mathcal{L}(A)^n\to\mathcal{L}(A)$ |
| 社会选择函数 SCF | 一个当选者 | $F:\mathcal{L}(A)^n\to A$ |
| 社会选择对应 SCC | 当选者的一个子集 | $F:\mathcal{L}(A)^n\to 2^A$ |
| 社会决策方案 SDS | 候选项上的概率分布 | $F:\mathcal{L}(A)^n\to\Delta(A)$ |
它们可以互相降格：SWF 取输出排序的第一名 → SCF；SCC 加个打破平局的规则 → SCF；委员会规则（选出固定 $k$ 个）取 $k=1$ → SCF。
⭐ 为什么要分这么细？ 因为第 26 章的两个不可能定理，一个是关于 SWF 的（Arrow），一个是关于 SCF 的（Gibbard–Satterthwaite）。输出形式换了，定理就换了一个。
🗳️ 二、这一章的那份选票
14 名选民，5 个候选项。后面每一条规则都用这一份，一个数字都不改。
| 人数 | 偏好 |
|---|---|
| 5 人 | $a \succ c \succ b \succ d \succ e$ |
| 4 人 | $e \succ b \succ c \succ d \succ a$ |
| 3 人 | $d \succ c \succ b \succ e \succ a$ |
| 2 人 | $b \succ d \succ e \succ c \succ a$ |
先记住一件事：$a$ 被 9 个人（其中 4+3+2）排在最后一名。这个细节等下会很有意思。
📊 三、计分规则（PSR）：把名次换成分数
位置计分规则由一个打分向量 $s=(s_1,\dots,s_m)$ 决定，$s_1\ge s_2\ge\dots\ge s_m$ 且 $s_1>s_m$。选民把某个候选项排在第 $j$ 位，它就得 $s_j$ 分。总分最高者当选。
| 规则 | 打分向量 | 人话 |
|---|---|---|
| Plurality（相对多数） | $(1,0,\dots,0)$ | 只看第一名 —— 最常见的那种投票 |
| k-approval | $(\underbrace{1,\dots,1}_{k},0,\dots,0)$ | 前 k 名各记一票 |
| Antiplurality | $(1,\dots,1,0)$ | 只惩罚最后一名 |
| Borda | $(m-1,m-2,\dots,0)$ | 名次差一位就差一分 |
🔨 手算：同一族规则，换个 k 就换个赢家
$m=5$，逐格填表（例：$b$ 的 Borda 分 $=2\times5+3\times4+2\times3+4\times2=36$）。
| 规则 | 向量 | a | b | c | d | e | 赢家 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Plurality（=1-approval） | (1,0,0,0,0) | 5 | 2 | 0 | 3 | 4 | ⭐ a |
| 2-approval | (1,1,0,0,0) | 5 | 6 | 8 | 5 | 4 | ⭐ c |
| 3-approval | (1,1,1,0,0) | 5 | 14 | 12 | 5 | 6 | ⭐ b |
| Borda | (4,3,2,1,0) | 20 | 36 | 34 | 27 | 23 | ⭐ b |
自查：Borda 总分应为 $14\times(4+3+2+1+0)=140$，而 $20+36+34+27+23=140$ ✓。
⭐⭐ 注意 3-approval 那一行：$b$ 拿到 14 分 —— 全部 14 个人都把它排进了前三。 而 plurality 只给它 2 分，因为只有 2 个人把它排第一。
⭐ 同一族规则内部就已经打起来了。 Plurality 和 Borda 都是位置计分规则，只是打分向量不同，结论却是 $a$ 和 $b$。 打分向量不是技术细节，它是「你认为第二名值多少」这个价值判断的编码。
🔁 四、多轮规则：淘汰之后重新数
计分规则一次算完。另一类规则反复淘汰再重数。
- Plurality with Runoff（两轮决选）：先按第一名票数选出前两名，再让这两个人两两对决，多数者胜。
- Instant Runoff / IRV（即时决选，也叫可转移单票制）：反复删掉第一名票数最少的候选项，被删者的选票自动顺延给票上的下一位，直到不能再删。
🔨 手算：两轮决选
第一名票数是 $a{:}5,\ e{:}4,\ d{:}3,\ b{:}2$，进入决选的是 $a$ 和 $e$。
$a$ 对 $e$：只有第一组（5 人）把 $a$ 排在 $e$ 前面，其余 $4+3+2=9$ 人都相反。$e$ 以 9:5 获胜 → 赢家 $e$。
🔨 手算：IRV（四轮，全程只用上面那张表）
| 轮次 | 各家第一名票数 | 淘汰谁 | 票怎么顺延 |
|---|---|---|---|
| 1 | a 5 ｜ e 4 ｜ d 3 ｜ b 2 | b（2 票最少） | 2 人的下一位是 $d$ → d 变 5 |
| 2 | a 5 ｜ d 5 ｜ e 4 | e（4 票最少） | 4 人跳过已删的 $b$，落到 $c$ → c 得 4 |
| 3 | a 5 ｜ d 5 ｜ c 4 | c（4 票最少） | 那 4 人再顺延到 $d$ |
| 4 | d 9 ｜ a 5 | —— | ⭐ 赢家 $d$ |
⚠️ 第 2 轮那一步最容易算错：$e$ 被淘汰后，那 4 个人的选票要跳过所有已经被删掉的候选项（$b$ 已经在第 1 轮被删了），落到还活着的最靠前的那个。
💥 五、把六个结果摆在一起
| 规则 | 赢家 |
|---|---|
| Plurality | a |
| 2-approval | c |
| 3-approval | b |
| Borda | b |
| 两轮决选 | e |
| IRV | d |
⭐⭐ 五个候选人，每一个都在某条规则下当选了。选票一张没改。
而且还有更刺眼的一条：plurality 的赢家 $a$，被 14 人里的 9 人排在最后一名 —— 它甚至在和任何一个对手的一对一比较里都会输（下一章会把这句话算清楚）。它之所以赢，只是因为支持它的那 5 个人特别集中，而反对它的 9 个人分散在 3 个阵营里。
⭐⭐ 这一章真正的结论不是「plurality 不好」，而是： 「谁赢」有一半写在规则里，不在选票里。 换规则 = 换赢家，这是常态不是意外。 所以下一步只能是：不比较结果，改成比较规则的性质。 那正是第 26 章的公理化方法。
⚠️ 不要把这理解成「投票是随机的」。 六条规则都不是瞎选的，每一条都在优化一个说得通的目标：plurality 看「最多人的首选」，Borda 看「整体位置的平均高度」，IRV 看「淘汰到最后还站得住」。它们分歧，是因为它们在意的东西不一样。
🧭 六、这三条规则各自在意什么
| 规则 | 它奖励什么 | 它的典型失败 |
|---|---|---|
| Plurality | 铁杆支持者的集中度 | ⚠️ 大多数人的共同次选（本例的 $c$）拿 0 分；票源分裂时会选出多数人厌恶的人 |
| Borda | 整体位置都靠前 | ⚠️ 极易被策略性投票操纵（把最强对手压到最后一名就能改结果，见第 26 章） |
| IRV | 在逐轮淘汰中活到最后 | ⚠️ 不单调 —— 有人把某候选项往上提，反而可能害它落选（因为改变了淘汰顺序） |
💡 本例里 $c$ 的处境特别典型：没有一个人把 $c$ 排第一（plurality 0 分），但 11 个人把它排进前二、12 个人排进前三。Plurality 完全看不见这种候选项。 下一章会证明 $c$ 其实是最有资格的那个。
🔗 这一章连到哪里
| 去哪 | 为什么 |
|---|---|
| ⭐ 25-Condorcet与锦标赛解.html | 同一份 14 人选票继续用。 那一章换一种数法 —— 不看名次看两两对决，会算出第六个答案 $c$，并解释 $a$ 为什么根本不该赢 |
| 26-不可能定理.html | 既然结果比不出高下，就只能比性质。那一章给出公理，以及「任何规则都必须放弃某条性质」的证明 |
| 22-联盟博弈与核心.html | 简单博弈的「获胜联盟」就是这里的「多数」。加权投票博弈是投票的另一种建模视角：那边问一票有多大权力，这边问票怎么变成决定 |
| ../推荐算法/06-工业架构-召回粗排精排重排.html | ⭐ 那一章的多目标融合公式（pCTR / pFinish / pLike 各出一个分，用一组权重 $w$ 合成一个分）就是一条位置计分规则的工业版 —— 而且它自己强调「权重是业务旋钮，不是学出来的」，正对应本章那句「打分向量编码了你认为第二名值多少」 |
✅ 检查点
- SWF / SCF / SCC / SDS 各自的输出是什么？为什么必须分清？
- 位置计分规则由什么决定？Plurality、k-approval、Borda 各对应哪个打分向量？
- 那份 14 人选票下，Plurality、2-approval、3-approval、Borda 的赢家各是谁？Borda 的总分自查是多少？
- 为什么 $b$ 在 3-approval 下能拿满 14 分，而 plurality 只有 2 分？
- 两轮决选和 IRV 的规则差别是什么？在这份选票上分别选出谁？
- IRV 第 2 轮里 $e$ 的 4 张票为什么落到 $c$ 而不是 $b$？
- 这一章最刺眼的那个结论是什么？plurality 的赢家 $a$ 有什么问题？
- Plurality、Borda、IRV 各自奖励什么、各自的典型失败是什么？
👀 答案
- SWF 输出集体排序，SCF 输出一个当选者，SCC 输出一个子集，SDS 输出概率分布。必须分清是因为 Arrow 定理是关于 SWF 的、Gibbard–Satterthwaite 是关于 SCF 的 —— 输出形式换了，定理就换了一个。
- 由打分向量 $s=(s_1,\dots,s_m)$（递减且 $s_1>s_m$）决定。Plurality $(1,0,\dots,0)$；k-approval 前 k 个 1 其余 0；Borda $(m-1,\dots,1,0)$。
- Plurality → a（5 票）；2-approval → c（8）；3-approval → b（14）；Borda → b（36，其次 c 的 34）。自查：Borda 总分 $=14\times10=140$，$20+36+34+27+23=140$ ✓。
- 因为 14 个人全都把 $b$ 排进了前三（满分）；而只有 2 个人把它排第一，plurality 只看第一名，所以只有 2 分。
- 两轮决选只跑一轮淘汰：按第一名票数取前两名直接对决；IRV 反复删掉第一名票数最少的，把票顺延，直到删不动。这份选票上：两轮决选 → $e$（$e$ 以 9:5 胜 $a$），IRV → $d$（最终 9:5 胜 $a$）。
- 因为 $b$ 已经在第 1 轮被淘汰了。顺延时要跳过所有已删候选项，那 4 人的顺序是 $e\succ b\succ c\succ d\succ a$，$e$、$b$ 都没了，就落到 $c$。
- 五个候选人，每一个都在某条合理规则下当选，而选票一张没改 —— 「谁赢」有一半写在规则里。$a$ 的问题：它被 14 人里的 9 人排在最后一名，之所以赢只是因为支持者集中（5 人）而反对者分散在 3 个阵营。
- Plurality 奖励铁杆支持者的集中度，失败在看不见大家的共同次选（本例 $c$ 拿 0 分）；Borda 奖励整体位置靠前，失败在极易被策略性投票操纵；IRV 奖励在逐轮淘汰中活到最后，失败在不单调（把某候选项往上提反而可能害它落选）。
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⚡ 走神救援
⭐⭐这一章的全部内容可以压成一句：同一份选票，六条规则给出的赢家覆盖了全部五个候选人。 框架先分清四种输出：SWF 出集体排序、SCF 出一个当选者、SCC 出一个子集、SDS 出概率分布 —— 分清是因为第 26 章的 Arrow 定理管 SWF、Gibbard–Satterthwaite 管 SCF。那份贯穿两章的选票是 14 人 5 候选：5 人 $a\succ c\succ b\succ d\succ e$、4 人 $e\succ b\succ c\succ d\succ a$、3 人 $d\succ c\succ b\succ e\succ a$、2 人 $b\succ d\succ e\succ c\succ a$，⭐其中 9 个人把 $a$ 排在最后一名。位置计分规则由打分向量 $s_1\ge\dots\ge s_m$（且 $s_1>s_m$）决定：Plurality $(1,0,\dots,0)$、k-approval 前 k 个 1、Borda $(m-1,\dots,0)$。手算结果：Plurality → a（5 票）、2-approval → c（8）、3-approval → b（14 满分）、Borda → b（36，c 34），自查总分 $14\times10=140$ ✓。⭐同一族规则换个 k 就换个赢家 —— 打分向量不是技术细节，它编码了「你认为第二名值多少」这个价值判断。 多轮规则：两轮决选取第一名票数前两位（$a$ 5、$e$ 4）直接对决，$e$ 以 9:5 获胜；IRV 反复删掉第一名票数最少的并把票顺延，四轮依次删 b → e → c，⚠️顺延时必须跳过所有已删候选项（第 2 轮 $e$ 的 4 票因为 $b$ 已删而落到 $c$），最终 $d$ 以 9:5 获胜。⭐⭐六条规则、五个不同赢家、选票一张没改。 更刺眼的是 plurality 的赢家 $a$ 在和任何一个对手的一对一比较里都会输，它赢只是因为支持它的 5 个人集中，反对它的 9 个人分散在 3 个阵营；而 $c$ 没有任何人把它排第一（plurality 0 分），却有 11 人排它进前二。⚠️不要理解成「投票是随机的」 —— 六条规则各自在优化一个说得通的目标：plurality 看首选的集中度（失败在看不见共同次选）、Borda 看整体位置高度（失败在极易被策略操纵）、IRV 看在淘汰中活到最后（失败在不单调：把某候选项往上提反而可能害它落选）。⭐它们分歧不是因为谁错了，是因为在意的东西不一样。 结果既然比不出高下，下一步只能改成比较规则的性质 —— 那就是第 26 章的公理化方法，而下一章先补上第六个答案：按两两对决数票，赢家是 $c$。
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